Laboratoire 2: Définitions de fonctions

Sommaire

1. La fonction factorielle

La factorielle \(n!\) d’un entier naturel \(n\) est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à \(n\). Écrire la fonction fact à un paramètre entier n qui renvoie \(n!\). Le résultat attendu à l’utilisation est le suivant :

# fact;;
- : int -> int = <fun>
# fact 0, fact 1, fact 2, fact 3, fact 4, fact 5;;
- : int * int * int * int * int * int = (1, 1, 2, 6, 24, 120)

Note : pour écrire une fonction récursive f, et donc d’avoir le droit d’appeler f dans la définition de f, le mot clé rec est à placer juste avant l’identificateur lors de la liaison globale :

let rec f arg_1 ... arg_n =
    (* Corps de la fonction dans lequel des appels à fct sont possibles. *)

2. La suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est une suite d’entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Elle commence généralement par les termes 0 et 1 et ses premiers termes sont

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

Écrire la fonction fib à un paramètre entier n qui renvoie le n-ième terme de la suite de Fibonacci. Le résultat attendu à l’utilisation est le suivant :

# fib;;
- : int -> int = <fun>
# fib 0, fib 1, fib 2, fib 3, fib 4, fib 5;;
- : int * int * int * int * int * int = (0, 1, 1, 2, 3, 5)

3. Plus grand diviseur commun

Écrire une fonction pgcd qui, étant données deux entiers, renvoie leur plus grand diviseur commun. On se servira du fait que pgcd(m, n) vaut :

  • n si m = 0
  • pgcd(n, m) si m > n
  • pgcd(n mod m, m) sinon

Le résultat attendu à l’utilisation est le suivant :

# pgcd;;
- : pgcd : int -> int -> int = <fun>
# pgcd 1 1;;
- : int = 1
# pgcd 20 30;;
- : int = 10
# pgcd 77 34;;
- : int = 1

4. Fonction d’Ackermann-Péter

La fonction d’Ackermann-Péter Ack(m, n) est définie récursivement par Ack(m, n) =

  • n + 1 si m = 0
  • Ack(m - 1, 1) si m ≥ 1 et n = 0
  • Ack(m - 1, Ack(m, n - 1)) sinon

Écrire la fonction ackermann à deux paramètres entiers m et n qui calcule Ack(m, n).

Le résultat attendu à l’utilisation est le suivant :

# ackermann;;
- : int -> int -> int = <fun>
# ackermann 0 1, ackermann 1 1, ackermann 2 1, ackermann 3 1;;
- : int * int * int * int * int = (2, 3, 5, 13)
# ackermann 0 2, ackermann 1 2, ackermann 2 2, ackermann 3 2;;
- : int * int * int * int = (3, 4, 7, 29)

5. Coefficient binomiaux

Les coefficients binomiaux, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n donnent le nombre de sous-ensembles de k éléments d’un ensemble de n éléments. On les note \(\binom{n}{k}\). Ces nombres sont sujets à la formule de Pascal :

\begin{equation*} \binom{n + 1}{k + 1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1}. \end{equation*}

En utilisant la formule de Pascal, écrire la fonction binom à deux paramètres entiers n et k qui renvoie \(\binom{n}{k}\). On exploitera le fait que \(\binom{n}{0} = 1\) pour tout entier naturel n et que \(\binom{n}{k} = 0\) si n < k.

Note : binom n k correspond à \(\binom{n}{k}\)

Le résultat attendu à l’utilisation est le suivant :

# binom;;
- : binom : int -> int -> int = <fun>
# binom 0 0;;
- : int = 1
# binom 1 0, binom 1 1;;
- : int * int = (1, 1)
# binom 2 0, binom 2 1, binom 2 2;;
- : int * int * int = (1, 2, 1)
# binom 3 0, binom 3 1, binom 3 2, binom 3 3;;
- : int * int * int * int = (1, 3, 3, 1)
# binom 4 0, binom 4 1, binom 4 2, binom 4 3, binom 4 4;;
- : int * int * int * int * int = (1, 4, 6, 4, 1)

Remarque : on peut vérifier à l’aide de la fonction factorielle que \begin{equation*} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}. \end{equation*} Écrire, en une seule (assez grosse) expression un moyen de vérifier que la version précédemment écrite pour le calcul des coefficients binomiaux et la formule ci-dessus donnent les mêmes valeurs pour tous 0 ≤ k ≤ n ≤ 3.

6. Fonctions mutuellement récursives

Écrire les fonctions récursives is_even et is_odd sans utiliser le modulo et avec comme seule information que 0 est pair. La fonction is_even renvoie true si son argument entier est pair, et la fonction is_odd renvoie respectivement true si son argument entier est impair. Comme le titre de l’exercice l’indique, les deux fonctions doivent s’appeler l’une l’autre. Il faudra se baser sur le fait qu’un nombre n est pair si et seulement si n = 0 ou n - 1 est impair, et qu’un nombre n est impair si et seulement si n ≠ 0 et n - 1 est pair.

# is_even;;
- : int -> bool = <fun>
# is_odd;;
- : int -> bool = <fun>
# is_even 0, is_even 1, is_even 2, is_even 3, is_even 4, is_even 5;;
- : bool * bool * bool * bool * bool * bool =
(true, false, true, false, true, false)
# is_odd 0, is_odd 1, is_odd 2, is_odd 3, is_odd 4, is_odd 5;;
- : bool * bool * bool * bool * bool * bool =
(false, true, false, true, false, true)

Pour rappel, pour définir deux fonctions mutuellement récursives fct1 et fct2, le mot-clé and est nécessaire :

let rec fct1 a1 ... an =
    (* Corps de fct1 ou fct1 et fct2 peuvent etre appelees. *)
and fct2 b1 ... bm =
    (* Corps de fct2 ou fct1 et fct2 peuvent etre appelees. *)

Ceci se généralise naturellement à un nombre quelconque de fonctions mutuellement récursives pourvu que le and soit utilisé conformément à cet exemple pour deux fonctions.

7. Récursivité terminale

Une fonction est récursive terminale si chaque appel récursif qu’elle effectue est la dernière expression à être évaluée (c’est-à-dire, tout appel récursif est en position terminale). La dernière expression d’une fonction récursive terminale doit donc soit être une expression n’impliquant pas un appel à cette même fonction, soit être un simple appel à la fonction, et jamais en un calcul faisant intervenir des appels récursifs.

Par exemple, la fonction suivante possède un appel récursif en position terminal, et un autre appel récursif en position non terminale. Ce n’est donc pas une fonction récursive terminale (tous les appels ne sont pas en position terminale).

let rec f (x : int) : int = 
  if x = 1 then
    0
  else if x > 0 then
    f (x - 1) (* appel récursif en position terminale *)
  else
    x * (f (x + 1)) (* appel récursif en position non terminale *)
  1. Dans vos définitions précédentes (exercices 1 à 6), identifier quels appels récursifs sont en position terminale, et lesquels ne le sont pas. De là, conclure quelle fonction est récursive terminale (s’il y en a).

La récursivité terminale économise de l’espace mémoire car aucun état (sauf l’adresse de la fonction appelante) n’a besoin d’être sauvé sur la pile d’exécution. Cela signifie également que le programmeur n’a pas à craindre l’épuisement de l’espace de pile ou du tas pour des récursions très profondes.

  1. Écrire une fonction fact' à un paramètre entier n qui calcule n! en faisant appel à une fonction récursive terminale (à deux paramètres). Indice : le 1er paramètre est le rang n et le 2ème est un accumulateur qui contient la valeur associée au rang précédent.
# fact, fact';;
- : (int -> int) * (int -> int) = (<fun>, <fun>)
# fact 0 = fact' 0, fact 1 = fact' 1, fact 2 = fact' 2, fact 10 = fact' 10;;
- : bool * bool * bool * bool = (true, true, true, true)
  1. Écrire une version récursive terminale fib' de la fonction fib à un paramètre entier n qui renvoie le n-ième terme de la suite de Fibonacci. Indice : la fonction fib' fait appel à une fonction récursive terminale à trois paramètres. Le 1er est le rang n, le 2ème est un accumulateur qui contient la valeur au rang n - 2 et le 3ème est un autre accumulateur qui contient la valeur au rang n - 1.
# fib, fib';;
- : (int -> int) * (int -> int) = (<fun>, <fun>)
# fib 0 = fib' 0, fib 1 = fib' 1, fib 2 = fib' 2, fib 10 = fib' 10;;
- : bool * bool * bool * bool = (true, true, true, true)

8. Exponentielle

  • Écrire la fonction exp à deux paramètres entiers x et n qui renvoie \(x^n\).

  • Écrire la fonction exp' à deux paramètres entiers x et n qui renvoie \(x^n\) en étant récursive terminale.

  • Écrire la fonction fast_exp à deux paramètres entiers x et n qui calcule \(x^n\) plus rapidement que le fait exp. Indice : se baser sur le fait que \(x^{2n}= (x^n)^2\) et \(x^{2n + 1} = (x^n)^2x\).

  • Ré-écrire la fonction exp pour qu’elle renvoie \(x^n\) ainsi que le nombre d’appels récursifs effectués pour obtenir ce résultat (renvoyer pour cela une paire (res, nb) où res est le résultat de l’exponentiation et nb est le nombre d’appels récursifs ainsi réalisés).

  • Faire de même pour fast_exp et comparer.

  • [Bonus, Avancé] Refaire les deux questions précédentes mais en comptant cette fois le nombre de multiplications réalisées. Trouver un lien entre le nombre de multiplications faites par fast_exp et l’écriture en base deux de n.

# exp;;
- : int -> int -> int = <fun>
# exp';;
- : int -> int -> int = <fun>
# fast_exp;;
- : int -> int -> int = <fun>
# exp' 2 10;;
- : int = 1024
# exp 2 10;;
- : int * int = (1024, 10)
# fast_exp 2 10;;
- : int * int = (1024, 4)
# fast_exp 3 21;;
- : int * int = (10460353203, 5)

9. Sommes doubles

  • Écrire une fonction sum1 à deux paramètres n et m qui renvoie la somme suivante en fonction de n et m : \begin{equation*} \sum_{a = n}^{m} \sum_{b = a}^{m} b. \end{equation*}

  • Écrire une fonction sum2 à un paramètre n qui renvoie la somme suivante en fonction de n : \begin{equation*} \sum_{0\leq k < j \leq n} k / j \end{equation*}

# sum1, sum2;;
- : (int -> int -> int) * (int -> float) = (<fun>, <fun>)
# sum1 1 3, sum1 0 10, sum1 5 10, sum1 5 3;;
- : int * int * int * int = (14, 440, 175, 0)
# sum2 0, sum2 3, sum2 5, sum2 10;;
- : float * float * float * float = (0., 1.5, 5., 22.5)

10. Application partielle et associativité

Soit la fonction add définie comme suit :

let add x y = x + y
  • Quel est le type de add ? Vérifier ensuite avec le toplevel.
  • Quel est le type de add 5 ? Vérifier ensuite avec le toplevel.

On définit maintenant la fonction addx comme suit :

let addx x = fun y -> x + y
  • Quel est le type de addx ? Vérifier ensuite avec le toplevel.
  • Quel est le type de addx 5 ? Vérifier ensuite avec le toplevel.
  • Peut-on observer une différence dans le comportement de addx et add ? Pourquoi ?

On définit finalement la fonction add3 comme suit :

let add3 = addx 3
  • Quel est le type de add3 ? Vérifier ensuite avec le toplevel
  • Quel est le type de add3 5 ? Vérifier ensuite avec le toplevel

Pour chacun des appels suivants, dire s’ils produisent un nombre, une fonction, ou une erreur. Vérifier ensuite avec le toplevel.

add 5 1
add 5
(add 5) 1
add (5 1)